Це готова робота зі старих версій. Якщо вас зацікавила будь-яка задача з цієї роботи – звертайтесь.

Сайт не підтримує складних формул, зміст можу вислати за вашим запитом. 

Тема 2. Двумерная модель линейной регрессии

Задача 1

Для выборки из 10 специалистов с тарифными разрядами от 2-го до 6-го их заработки составляли:

Построить график модели линейной регрессии (вместе с диаграммой рассеяния), оценить коэффициенты a  и b регрессионного уравнения, найти остатки регрессииei, коэффициенты детерминации и корреляции и убедиться в выполнении равенств Se_i = 0,  Se_ix_i = 0. ПРИМЕЧАНИЕ: решение иллюстрировать с помощью расчетных таблиц EXCEL.

Задача 2

Возраст (x_i, лет) и вес (y_i, кг) 12 школьников описываются выборкой {x_i, y_i}(12) = {(10, 28), (10, 32), (11, 34), (11, 35), (11, 36), (12, 36), (13, 39), (14, 41), (14, 44), (15, 46), (15, 48), (15, 50)}.

Определить оценки параметров а и b модели, построить модель линейной регрессии веса детей в зависимости от возраста (вместе с диаграммой рассеяния), оценить коэффициент корреляции между возрастом и весом детей, сделать выводы. ПРИМЕЧАНИЕ: для определения параметров а и b модели использовать расчетные таблицы EXCEL с последующей проверкой решения с помощью функции ЛИНЕЙН.

Задача 3

По результатам выборочного наблюдения с объемом выборки n = 40 определены значения ∑х_і =12, ∑х_і²=48,  ∑у_і=0, ∑у_і²=8, ∑ х_і у_і=-16.

Оценить коэффициенты a  и b регрессионного уравнения, построить график парной МЛР, определить коэффициенты детерминации и корреляции и оценить значимость связи между фактором и показателем.

Задача 4

Пусть известны 2 точки выборки (0; 4) и (3; 1). Найти еще 3 различные точки выборки, при которых коэффициент детерминации будет равен 1.

Тема 2.1. Оценка ошибок моделирования

Задача 1

Успеваемость 10 студентов оценивается вместе с активностью по 10-балльной системе следующими показателями

Построить МЛР (найти оценки параметров а и b), найти интервальные ошибки оценок параметров модели с уровнем значимости α = 0,05 и оценить статистическую значимость коэффициентов а и b.

Задача 2

Для выборки парной регрессии рассчитаны суммы ∑(х_і – x)² = 81,  ∑(у_і – у) (х_і – x) = -12

Определить оценку дисперсии ошибок регрессии двумерной МЛР, при которой относительная стандартная ошибка оценки коэффициента регрессии b не превышает 1%.

Задача 3

Модель зависимости спроса у* (тыс. шт.) от цены х (грн.) описывается уравнением прямой у* = 28– 0,12х,объем выборки n = 100, коэффициент детерминации R² = 0,6,

∑х_і =20000, ∑х_і²=5000000, S_у²=45.

Определить доверительный интервал прогноза спроса при ценеединицы товара 100 грн. с доверительной вероятностью 95%.

Задача 4

В зависимости от возраста процент работоспособного населения характеризуется данными

Построить МЛР, определить коэффициент детерминации и F-статистику и оценить значимость связи между возрастом и процентом работоспособного населения с доверительной вероятностью 95%.

Тема 3. Многомерная модель линейной регрессии

Задача 1

Доходность 5 предприятий Y (оценивается по 5-балльной шкале) в зависимости от числа работников Х₂ (тыс. чел.) и расходов на рекламу товаров Х₃ (в у.е.) определяется выборочными данными:

Построить трехмерную МЛР (определить оценки параметров b₀, b₁ и b₂ модели), найти остатки регрессии в выборочных точках, среднее значение прогноза доходности предприятия с 8 тыс. работников и затратами на рекламу в 3 у.е.и доверительный интервал прогноза с вероятностью 0,9. Оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии и значимость линейной связи между показателем и факторами на основе статистики Фишера.

Задача 2

Уравнение для 4-мерной МЛР имеет вид y* = 3,5 + 1,2x₁ – 0,8x₂ + 2,4x₃.

Определить доверительный интервал прогноза показателя в точке прогноза хр = (1; 24; 12,5; 2),если СО прогноза равна 1,5, а доверительная вероятность 95%.

Задача 3

Коэффициент детерминации 4-мерной МЛР равен 0,8.

Определить объем выборки, при которой значение F-статистики не меньше 6.

Задача 4

Дана выборка объема n = 20 с двумя факторами Х₁ и Х₂ определены значения

X₁=6, X₂=17, ∑x_1i²=22, ∑x_2i²=56, ∑x_1i x_2i = -12, ………..

Построить уравнение модели, определить среднее значение прогноза в точке х_р = (1; 9; 12).

Задача 5

Для выборки объема n = 20 с двумя факторами Х₁ и Х₂ определены значения

∑у_і = 44, ∑у_і² = 509, ∑x_1і = 60 ……………….

Определить параметры b₀, b₁ и b₂ модели, коэффициент детерминации и среднее значение прогноза трехмерной МЛР в точке х_р = (1; 5; 8).

Задача 6

Как изменится стандартная (среднеквадратичная) ошибка в определении прогноза показателя трехмерной МЛР, если:

1. в 2 раза возросли все выборочные значения показателяY;
2. в 2 раза возросли все выборочные значения фактораX₂;
3. в 2 раза возросли все выборочные значения двух факторов:X₁ и Х₂?

Задача 7

Как изменятся параметры (b₀, b₁, b₂) трехмерной МЛР и коэффициент детерминации, если:

1. в 2 раза возросли все выборочные значения показателя Y;
2. в 2 раза возросли все выборочные значения фактора X₁;
3. в 2 раза возросли все выборочные значения двух факторов: X₁и Х₂?

Задача 8

Доказать, что оценка (3.9) параметров МЛР при k = 2 совпадает с оценками (2.8), (2.9) параметров модели парной линейной регрессии.

Тема 4

Задача 1

Доходы фирмы Y (тыс. грн.) в зависимости от числа работников Х1 (чел.) и объема производства Х2 (у.е.) определяется выборочными данными:

Определить корреляционную матрицу факторов, оценить модель на общую мультиколлинеарность методом Феррара-Глобера (с доверительной вероятностью 95%).

Задача 2

Дана выборка объема n = 25 с двумя факторами Х₂ и Х₃ и определены значения

Построить уравнение модели, оценить модель на общую мультиколлинеарность методом Феррара-Глобера (доверительная вероятность 95%).

Тема 5. Автокорреляция

Задача 1

Данные о числе ДТП в области за 10 месяцев года приведены в таблице

Построить линейный тренд (с МНК оценками параметров тренда), найти остатки регрессии тренда, коэффициент автокорреляции остатков и значение DW. C вероятностью 0,95 сделать заключение о наличии или отсутствии автокорреляции (на основе теста Дарбина-Уотсона).

Задача 2

Изменение курса доллара (приращение в коп.) за 7 дней недели характеризуется средними данными

Методом наименьших квадратов построить линейный тренд изменения курса доллара, найти остатки регрессии тренда, коэффициент автокорреляции остатков и значение DW-статистики. Протестировать модель на автокорреляцию с помощью процедуры Дарбина-Уотсона. Используя найденное значение r как первое приближение, найти ОМНК оценки параметров тренда и второе приближение для коэффициента автокорреляции r.

Тема 6. Гетероскедастичность

Задача 1

Данные по товарообороту торгового предприятия (в тыс. грн.) за 28 месяцев приведены в таблице

Согласно тесту Голдфелда-Квандта определить наличие или отсутствие гетероскедастичности в соответствующей модели линейной регрессии.

Задача 2

Для данных задачи 1 применить тесты Парка и Уайта обнаружения гетероскедастичности.

Задача 3

Полагая σ_i = x_i, построить трансформированную МЛР у_i/σ_i , сравнить графики исходной и трансформированной моделей и коэффициенты детерминации.

Тема 7. Двумерная модель нелинейной регрессии

Задача 1

Выборочные данные парной регрессии определяются 10-ю точками {X,Y} = {(3,2); (3,3); (4,5); (5,8); (5,7); (6,7); (7,7); (8,5); (9,6); (9,4)}.

Определить оценки МНК параметров нелинейной параболической модели (трехпараметрической), построить её график на фоне выборочных точек, рассчитать функционал ошибок (сумму квадратов остатков регрессии).

Задача 2

Для выборочных данных задачи 1 определить оценки параметров двухпараметрической параболической модели, построить её график и рассчитать функционал ошибок. Сравнить результаты с результатами задачи 1 (графически и по величине ошибок).

Задача 3

Произвести линеаризацию двумерной модели – кривой В. Парето y*= a(x – x_min)^–b, где х – семейный доход с минимальным значением x_min, у* – число лиц с доходом х, а и b – параметры модели, определяемые на основе статистических данных. Получить выражения для оценок а и b этой модели.

Задача 4

Получить оценки МНК параметров линеаризованной модели Парето для числа у лиц с доходом х:у*= a(x – x_min)^–bпри минимальном доходе 150 грн. и данных выборки

Построить график модели, определить оценку дисперсии S² и стандартную ошибку регрессии S (остатков регрессии). Определить прогноз числа лиц с доходом 1700 грн. и доверительный интервал этого прогноза с вероятностью 90%.

Задача 5

Получить оценки МНК параметров линеаризованной экспоненциальной модели для числа у лиц с доходом х:

y* = a + be ^{– (x – xmin)} при минимальном доходе 200 грн. и данных выборки, заданных в задаче 4. Построить график модели, определить прогноз числа лиц с доходом 2300 грн. и доверительный интервал этого прогноза с вероятностью 95%.

Задача 6

Получить оценки МНК параметров линеаризованной логарифмической модели для числа у лиц с доходом х:

y* = a + bln(x/x_min– 1) при минимальном доходе 200 грн. и данных выборки, заданных в задаче 4. Построить график модели, определить прогноз числа лиц с доходом 2200 грн.

Задача 7

Получить выражения для оценок дисперсий параметров двумерной экспоненциальной и логарифмической модели.

Задача 8

Получить выражение для оценки дисперсии прогноза показателя двумерной экспоненциальной модели.

Контрольная работа (вариант 9)

Задача 1

На основе данных, заданных таблицей 1 (временной ряд за 12 месяцев года):

1. Построить график линейного тренда показателя Y*(t) = b₀+ b₁t на фоне выборочных точек (по методу наименьших квадратов);
2. Найти точечные ошибки оценок параметров b₀и b₁ модели;
3. Найти интервальные ошибки оценок параметров b₀и b₁ модели с уровнем значимости α = 0,05;
4. Определить остатки регрессии е_i(проверить Σе_i = 0, Σе_iх_i = 0), коэффициенты детерминации R² и корреляции R;
5. Оценить значимость статистической связи Y(t) по критерию Фишера;
6. Оценить прогноз показателя для 2-х месяцев Y*(13) и Y*(15).

Задача 2

На основе данных, заданных таблицей 2 (уровень расходов С в зависимости от доходов D, сбережений S и заработной платы L):

1. Определить параметры b_iмодели линейной регрессии С = b₀ +b₁D +b₂S + b₃L + E, пользуясь методом наименьших квадратов;
2. Определить остатки регрессии е_i (проверить Σе_i = 0), и коэффициент детерминации R²;
3. Определить корреляционную матрицу факторов R;
4. Оценить наличие мультиколлинеарности между факторами по методу Феррара-Глобера.

Задача 3 (не решена)

На основе данных задачи 1:

1. Определить оценку коэффициента автокорреляции rвременного ряда и статистику Дарбина-Уотсона DW;
2. Оценить наличие автокорреляции в данной модели с доверительной вероятностью Р = 0,95.

Задача 4 (не решена)

На основе данных, заданных таблицей 3 (выпуск продукции Y в зависимости от капитала K (производственных фондов) и трудозатрат L):

1. Построить нелинейную модель производственной функции Кобба-Дугласа как зависимость производительности труда у= Y/Lот фондовооруженности х = К/L;
2. Методом линеаризации оценить параметры степенной функции у*(х) = ах^bи построить график модели на фоне поля рассеяния;
3. Оценить коэффициент детерминации R²