Вища математика (старі роботи) (МАУП)

ТУТ ЗІБРАНІ СТРАРІ ГОТОВІ РОБОТИ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ. ОДНАК ЯКЩО ВИ ЗНАЙДИТЕ ТУТ ТУ ЗАДАЧУ, ЯКА ВАМ ПОТРІБНА – ПИШІТЬ. 

Складні формули тут не підтримуються, але в оригіналі вони є. 

Вища математика 1

Тема 3

1. Транспонувати матрицю А, якщо:
2. Знайти 2А+3В, якщо:
3. Знайти матрицю Х із рівняння:

.  Знайти добуток матриць АВ і ВА (якщо це можливо

. Обчислити визначники:

6. Розв’язати рівняння:
7. Обчислити визначники:
8. Обчислити визначники, використовуючи властивості визначників

Тема 5

1. Знайти обернену матрицю до матриці А:
2. Визначити, для яких значень а, матриця А не мая оберненої матриці.
3. Знайти ранг матриці:

Тема 6

1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь
2. Розв’язати систему рівнянь методом крамера та методом оберненої матриці
3. Роз‘язати систему рівнянь методом Гаусса:

Тема 8

1. За даними векторами , побудувати вектори 1)  
2. Точки M і K – середини сторін AB і CD чотирикутника  ABCD. Показати, що
3. Знайти координати вектора , його модуль та напрямні косинуси, якщо ,
4. Перевірити, чи колінеарні вектори ; , і встановити, який із них довший і наскільки.
5. Визначити модуль вектора якщо:
6. Задані вектори . При якому значенню вектори колінеарні?
7. Задано три послідовні вершини паралелограма A, B, C. Знайти його четверту вершину D, якщо ;; .
8. Перевірити чи утворюють вектори ; базис множини векторів і якщо так то розкласти вектор  за цим базисом.
9. Показати, що вектори ; ; утворюють базис у просторі та розкласти вектор  за цим базисом, якщо ; ; ; .
10. Знайти кут між векторами і , якщо ;
11. Задано чотирикутник з вершинами у точках ;; ; . 12. Визначити , при якому значенні m діагоналі чотирикутника AC I BD  перпендикулярні.
12. Знайти координати векторного добутку , якщо =(2;4;5);
13. Обчислити площу трикутника з вершинами ;; .
14. Для векторів i знайти координати векторних добутків:
15. Задано такі координати вершин трикутної піраміди ABCD: ;; ; .. . Знайти довжину ребра AB, косинус кута між ребрами AB I AD, об’єм піраміди.

Тема 10

1. Знайти координати точок, симетричних відносно початку координат, відносно осі Ox, відносно осі Oy точкам:

A(1;1): відносно початку координат A(-1;-1); відносно осі Ox A(1;-1); відносно осі  Oy  A(-1;1);

B(2;-4): відносно початку координат B(-2;4); відносно осі Ox B(2;4); відносно осі  Oy  B(-2;-4);

C(-4;3): відносно початку координат C(4;-3); відносно осі Ox C(-4;-3); відносно осі  Oy  C(4;3);

D(-2;-5): відносно початку координат D(2;5); відносно осі Ox D(-2;5); відносно осі  Oy  D(2;-5);

2. Точка М є серединою відрізка ОА, що з’єднує початок координат з точкою А(-6;4). Знайти координати точки М.
3. Привести до рівнянь з кутовим коефіцієнтом та у відрізках задані рівняння прямих і побудувати їх:

6x+4y-12=0

2x+3y-1=0

4. Знайти точку перетину висот трикутника, якщо його вершинами є точки А(0;1), В(-3;2),

С(-4;-1).

5. Знайти точку перетину медіан трикутника, якщо його вершинами є точки А(2;1), В(0;3),

С(-2;1).

6. Записати рівняння сторін трикутника та знайти його внутрішній кут А, якщо вершини його задаються координатами: А(2;2), В(-3;2), С(1;-1).
7. Через точку М(3;5) провести пряму, так, щоб відрізок її, що розміщений між осями координат, ділився в точці навпіл.
8. На прямій 3x-y+4=0 знайти точку, яка рівновіддалена від точок А(3;3) і В(7;5).
9. Сторони АВ, ВС і АС трикутника АВС задаються відповідними рівняннями: 2x-y-1=0, 7x-3y-6=0, 3x-y-2=0. Знайти координати вершин трикутника та довжину висоти, опущеної з кута А на сторону ВС.

Тема 10 (2)

1. Встановити, чи лежать на колі з центром C(0; 0) і радіусом 5 точки:

M(3; 4)

(4; 4).

2. Встановити, чи перетинають коло (x-3)²+(y+2)²=9 прямі

2x-3y-3=0,

2x-3y+3=0.

3. Скласти рівняння кола, діаметром якого є відрізок прямої 2x+3y-12=0, кінці якого лежать на осях координат.
4. Побудувати еліпс 4x²+9y²=36 та знайти півосі, координати фокусів, ексцентриситет та їхні директриси.
5. Побудувати гіперболу4x²-9y²=36 та знайти півосі, координати фокусів, ексцентриситет та їхні асимптоти і директриси.
6. Написати канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що:

відстань між фокусами дорівнює 10 та дійсна піввісь а = 4;

дійсна піввісь a=4, а ексцентриситет ε=1,2;

відстань між фокусами дорівнює 6, а ексцентриситет ε=1,5;

відстань між фокусами дорівнює 20, а рівняння асимптот ….

7. Знайти центр, фокуси та ексцентриситет гіперболи, якщо вона задається рівнянням: =0.
8. Написати рівняння параболи, вершина якої знаходиться на початку координат та:

парабола симетрична відносно осі Ox і проходить через точку (4; 1);

парабола симетрична відносно осі Oy і проходить через точку (1; 1);

парабола симетрична відносно осі Ox і проходить через точку перетину двох прямих y=x та x+y=2.

9. Знайти координати фокуса і рівняння директриси парабол, що задаються рівняннями

y²=24x,

x²=-8y.

Тема 11

Написати рівняння площини “у відрізках на осях”, що проходить через точку M та має нормальний вектор :

M(3; -1; -1), =(2; 1; -5);

M(0; 0; 0), =(-2; 5; 3);

M(1; 1; 2), =(0; 4; -3).

Написати рівняння площини , що проходить через початок координат і через дві точки M1(4; -2; 1) та M2(2; 4; -3).

Знайти кут між площинами: 2x-3y+z-1=0, 2x+y+2=0.

Серед пар площин знайти пару паралельних площин і знайти відстань між ними:

2x-3y+5z-1=0, 4x-6y+10z+2=0;

3x+y-z-3=0, 6x+2y-2z-6=0.

Тема 12

1. Привести до канонічного вигляду рівняння прямої, яка задане загальним рівнянням:
2. Визначити чи перетинаються прямі в просторі та знайти кут між ними:
3. Довести перпендикулярність прямих:

Тема 13

1. Записати рівняння площини, що проходить через точку M(1; -3; 2) перпендикулярно до прямої
2. Записати рівняння площини, що проходить через пряму та через точку M:
3. Знайти точку перетину прямої і площини та визначити кут між ними, якщо:
4. При яких значеннях A і D пряма лежить на площині Ax+4y-3z+D=0.
5. Написати рівняння площини, яка проходить через паралельні прямі

Вища математика 2

Тема 3

1. Написати рівняння площини “у відрізках на осях”, що проходить через точку M та має нормальний вектор :

M(3; -1; -1), =(2; 1; -5);

M(0; 0; 0), =(-2; 5; 3);

M(1; 1; 2), =(0; 4; -3).

2. Написати рівняння площини , що проходить через початок координат і через дві точки M1(4; -2; 1) та M2(2; 4; -3).
3. Знайти кут між площинами: 2x-3y+z-1=0, 2x+y+2=0.
4. Серед пар площин знайти пару паралельних площин і знайти відстань між ними:

2x-3y+5z-1=0, 4x-6y+10z+2=0;

3x+y-z-3=0, 6x+2y-2z-6=0.

Тема 5

1. Привести до канонічного вигляду рівняння прямої, яка задане загальним рівнянням:
2. Визначити чи перетинаються прямі в просторі та знайти кут між ними:
3. Довести перпендикулярність прямих:

Тема 7

1. Записати рівняння площини, що проходить через точку M(1; -3; 2) перпендикулярно до прямої
2. Записати рівняння площини, що проходить через пряму та через точку M:
3. Знайти точку перетину прямої і площинита визначити кут між ними, якщо:
4. При яких значеннях A і D пряма лежить на площині Ax+4y-3z+D=0.
5. Написати рівняння площини, яка проходить через паралельні прямі

Тема 9

1. Знайти область визначення функції:
2. Знайти область значень функції:
3. Дослідити функцію f на парність і непарність:
4. Дослідити функцію f на періодичність і знайти її основний період:
5. Дослідити функцію f на обмеженість:

Тема 10

1. Записати чотири перших члени послідовності:
2. Записати одну з формул для загального члена послідовності, якщо відомо її кілька перших членів:
3. Довести обмеженість послідовності:
4. Довести, що послідовність (an) спадає, якщо:
5. Довести, що послідовність (an) зростає, якщо:
6. Знайти границю:

Тема 11

1. Користуючись означенням границі функції в точці, знайти границі:
2. Знайти границі:
3. Знайти односторонні границі функції ƒ у точці х0:

Тема 12

1. Користуючись означенням, довести неперервність функції ƒ на своїй області визначення:
2. Дослідити функцію ƒ на неперервність і з’ясувати характер точок розриву:

Модуль 3

(повний зміст Модуль 3 та Вища математика 2(2) див. у гугл документі за цим посиланням:

https://docs.google.com/document/d/1Xf0zC5oFnzP_c4TOf9md29KV48VfItgYA7Bkc14Bvn8/edit?usp=sharing   

Завдання для самостійного розв’язання №20

1. Знайти область визначення функції:
   1. ;
   2. ;
   3. ;
   4. ;
   5. ;
   6. .
2. Знайти область значень функції:
   1. ;
   2. ;
   3. ;
   4. .
3. Дослідити функцію f на парність і непарність:
   1. ;
   2. ;
   3. ;
   4. ;
   5. ;
   6. ;
   7. ;
   8. .
4. Дослідити функцію f на періодичність і знайти її основний період:
   1. ;
   2. ;
   3. ;
   4. .
5. Дослідити функцію f на обмеженість:
   1. ;
   2. ;
   3. ;
   4. .

Завдання для самостійного розв’язання №21

1. Записати чотири перших члени послідовності:
   1. ;
   2. ;
   3. ;
   4. .
2. Записати одну з формул для загального члена послідовності, якщо відомо її кілька перших членів:
   1. ;
   2. ;
   3. 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0;
   4. .
3. Довести обмеженість послідовності:
   1. ;
   2. .
4. Довести, що послідовність (a_n) спадає, якщо:
   .
5. Довести, що послідовність (a_n) зростає, якщо:
   .
6. Знайти границю:
   1. ;
   2. ;
   3. ;
   4. ;
   5. ;
   6. ;
   7. ;
   8. .

Завдання для самостійного розв’язання №22

1. Користуючись означенням границі функції в точці, знайти границі:
   1. ;
   2. ;
   3. .
2. Знайти границі:
   1. ;
   2. ;
   3. ;
   4. ;
   5. ;
   6. ;
   7. ;
   8. ;
   9. ;
   10. ;
   11. ;
   12. ;
   13. ;
   14. ;
   15. ;
   16. ;
   17. ;
   18. .
3. Знайти односторонні границі функції ƒ у точці х₀:
   1. , х₀=0;
   2. , х₀=–5;
   3. , х₀=0;
   4. , х₀=1.

Завдання для самостійного розв’язування №23

1. Користуючись означенням, довести неперервність функції ƒ на своїй області визначення:
   1. ;
   2. ;
   3. ;
   4. .
2. Дослідити функцію ƒ на неперервність і з’ясувати характер точок розриву:
   1. ;
   2. ;
   3. ;
   4. ;
   5. ;
   6. ;
   7. ;
   8. .

Вища математика 2(2)

Завдання для самостійного розв’язання ( n-го рівня.)

1. Транспонувати матрицю A, якщо:
   1. ;
   2. ;
   3. .
2. Знайти 2A+3B, якщо , .
3. Знайти матрицю X із рівняння: .
4. Знайти добуток матриць AB і BA (якщо це можливо):
   1. , ;
   2. , .
5. Обчислити визначники:
   1. ;
   2. ;
   3. ;
   4. .
6. Розв’язати рівняння: .
7. Обчислити визначники:
   1. ;
   2. .
8. Обчислити визначники, використовуючи властивості визначників:
   1. ;
   2. .

Завдання для самостійного розв’язання ( ранг матриці).

1. Знайти обернену матрицю до матриці А:
   1. ;
   2. ;
   3. .
2. Визначити, для яких значень a матриця  не має оберненої.
3. Знайти ранг матриці:
   1. ;
   2. ;
   3. ;
   4. ;
   5. .

Завдання для самостійного розв’язання ( система алг.рівнняня).

1. Розв’язати систему рівнянь  трьома методами: методом Крамера, методом оберненої матриці та методом Гауса.
2. Розв’язати систему рівнянь методом Крамера та методом оберненої матриці:
   1. .
3. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса:
   1.      

Завдання для самостійного розв’язання ( скалярний вектор)

1. За заданими векторами  і  побудувати вектори , , .
2. Точки М і К – середини сторін АВ і CD чотирикутника ABCD. Показати, що .
3. Знайти координати вектора , його модуль та напрямні косинуси, якщо A(3; 1; -2), B(1; 0; 1).
4. Перевірити, чи колінеарні вектори  і , і встановити, який із них довший і наскільки.
5. Визначити модуль вектора , якщо:
   1. ;
   2. .
6. Задано вектори . При якому значенні λ вектори  та колінеарні?
7. Задано три послідовні вершини паралелограма A, B, C. Знайти його четверту вершину D, якщо A(1; 0; -3), B(-1; 2; 1), C(2; -3; -2).
8. Перевірити, чи утворюють вектори  і  базис множини векторів V₂ і якщо так, то розкласти вектор  за цим базисом:
   1. =(2, –1), =(–3, 5), =(–7, 7);
   2. =(–2, 3), =(6, –9), =(4, –5).
9. Показати, що вектори , ,  утворюють базис у просторі V₃ та розкласти вектор  за цим базисом, якщо , , , .
10. Знайти кут між векторами  і , якщо , .
11. Задано чотирикутник з вершинами у точках A(2; -1; 2), B(2; 5; 0), C(-3; 2; 1), D(m; -4; 3). Визначити, при якому значенні mдіагоналі чотирикутника AC і BD перпендикулярні.
12. Знайти координати векторного добутку , якщо .
13. Обчислити площу трикутника з вершинами у точках A(7; 3; 0), B(2; 0; 5) і C(3; 3; -1).
14. Для векторів  і  знайти координати векторних добутків:
    1. ,
    2. .
15. Задано такі координати вершин трикутної піраміди ABCD: A(3; 1; 4), B(-1; 6; 1), C(-1; 1; 6), D(0; 4; -1). Знайти довжину ребра АВ, косинус кута між ребрами АВ і AD, об’єм піраміди.

Завдання для самостійного розв’язання (аналітична геометрія 10).

1. Привести до канонічного вигляду рівняння прямої, яка задане загальним рівнянням:
2. Визначити чи перетинаються прямі в просторі та знайти кут між ними:
   1. ;
   2. .
3. Довести перпендикулярність прямих:  та .

Завдання для самостійного розв’язання ( аналітична геометрія 11).

1. Записати рівняння площини, що проходить через точку M(1; -3; 2) перпендикулярно до прямої
   1. ,
2. Записати рівняння площини, що проходить через пряму  та через точку M:
   1. ;
   2. .
3. Знайти точку перетину прямої і площинита визначити кут між ними, якщо:
   1. ;
   2. .
4. При яких значеннях A і D пряма  лежить на площині Ax+4y-3z+D=0.
5. Написати рівняння площини, яка проходить через паралельні прямі
   1. ;
   2. .

12. Завдання для самостійного розв’язання

1. Студент на екзамені відповідає на білет, в якому три питання. Нехай A_i={студент відповів на i-те питання}. Виразити через події A_i такі події:
   1. студент відповів хоча б на два питання;
   2. студент не відповів на жодне питання;
   3. студент відповів тільки на одне питання.
2. Гральний кубик підкидають двічі. Нехай A_i={випаде i очок при першому підкиданні}, B_j={випаде j очок при другому підкиданні }, . Виразити через A_i, B_j такі події: А={сума очок при двох підкиданнях дорівнює 6}, В={сума очок при двох підкиданнях більше 8}.
3. У класі навчається 30 учнів, серед яких 6 займається плаванням. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний учень займається плаванням.
4. На дев”яти картках написано букви “м”,”с”,”к”,”н”,”е”,”о”,”і”,”т”,”о”. Знайти ймовірність того, що навмання викладаючи ці картки, ви дістанете слово “економіст”.
5. Студент і студентка умовились зустрітись в певному місці між 19 та 20 годинами. Якщо студент приходить першим, то він чекає студентку не більше 30 хв. і йде з місця зустрічі. Якщо ж студентка прийде першою, то вона чекає студента не більше 10 хв. і йде з місця зустрічі. Знайти ймовірність того, що зустріч відбудеться у призначеному місці.

13. Завдання для самостійного розв’язання

1. У бібліотеку одночасно зайшло чотири відвідувачі. Скількома способами вони можуть утворити чергу?
2. В студентську раду інституту обрано 8 студентів. Скількома способами можна обрати керівну групу у складі голови, заступника та секретаря?
3. Чотири білети в театр розігрують 5 хлопців і 7 дівчат. Знайти ймовірність того, що в театр підуть 2 хлопця і 2 дівчини.
4. У кошику лежать вісім червоних та два зелених яблука. Знайти ймовірність того, що серед чотирьох взятих яблук:
   1. будуть всі червоні;
   2. будуть два зелених яблука.
5. З десяти лотерейних білетів книжкової лотереї – два виграшні. Визначити ймовірність того, що серед куплених п’яти білетів:
   1. один виграшний;
   2. хоча б один виграшний.
6. П’ять книжок, серед яких два підручники з математики, довільним чином розміщують на полиці. Яка ймовірність того, що ці два підручники стоятимуть поряд?

14. Завдання для самостійного розв’язання

В першій урні міститься 7 білих і 3 чорних кульки; в другій – 5 білих і 5 чорних кульок. З кожної урни навмання виймають по одній кульці. Знайти ймовірність того, що серед вибраних кульок буде:

тільки одна біла кулька;

дві білі кульки;

хоча б одна біла кулька.

У туриста є десять однакових консервних банок, серед яких три банки – з тушкованим м’ясом, а сім банок– з рибними консервами. Під час зливи етикетки відклеїлись. Яка ймовірність того, що дві навмання відкриті банки будуть відрізнятись змістом?

У вазі 5 троянд рожевого кольору, 7 червоних та 3 білих троянди. Навмання дістають дві троянди. Яка ймовірність того, що вони будуть:

одного кольору;

різних кольорів?

Перший стрілок влучить у ціль з ймовірністю 0.8, другий – з ймовірністю – 0.9, а третій – з ймовірністю 0.85. Яка ймовірність того, що хоча б один стрілок влучить у ціль?

В одному класі – 5 відмінників, в другому класі – 3 відмінники, а в третьому класі відмінників немає. З навмання вибраного класу вибрали учня. Знайти ймовірність того, що він – відмінник, якщо в кожному класі вчиться 30 дітей.

Два економісти заповнюють документи, які складають у спільну папку. Ймовірність зробити помилку для першого економіста – 0,1, для другого – 0,2. Перший економіст заповнив 40 документів, другий – 60. Під час перевірки навмання взятий із папки документ виявися з помилкою. Знайти ймовірність того, що його склав перший економіст.

В першій урні знаходяться 4 білих і 3 чорних кульки, а в другій – 3 білих і 1 чорна кульки. Із першої урни навмання вийняли одну кульку і переклали її в другу. Знайти ймовірність того, що навмання вийнята кулька з другої урни після перекладання буде білою.

15.Завдання для самостійного розв’язання

1. У відділі працює п’ятеро співробітників. Для кожного з них ймовірність вчасно виконати певну роботу, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що четверо з них вчасно виконають роботу. Яка ймовірність того, що хоча б один із них виконає роботу вчасно.
2. Знайти ймовірність того, що серед 8 перехожих буде не більше 2-х брюнетів, якщо близько 30% населення – брюнети.
3. Серед шести студентів проводиться психологічний тест на визначення типу характера людини. Ймовірність того, що для кожної людини буде правильно визначено тип характеру за результатами тестування, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що тільки для чотирьох протестованих студентів, буде правильно визначено тип характеру.
4. Знайти ймовірність того, що серед 100 новонароджених буде 48 дівчаток, якщо ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,515.
5. Оглядову лекцію повинні прослухати 100 студентів. Ймовірність бути присутнім на цій лекції для кожного студента дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що на лекцію прийде більше половини студентів.
6. За статистичними данними відомо, що ймовірність захворіти грипом під час епідемії для кожної особи дорівнює 0,3. Яка ймовірність того, що із 100 перевірених осіб хворими виявляться:
   1. 30 осіб;
   2. від 20 до 50 осіб.
7. Знайти ймовірність того, що серед 500 учнів школи:
   1. троє народилося 8 березня;
   2. жоден не народився 1 січня.
8. Ймовірність влучення в літак з гвинтівки при кожному пострілі дорівнює 0,001. Проводиться 3000 пострілів. Знайти ймовірність того, що буде хоча б одне влучення.